LISTA DE CONTEÚDO

  1. PROPORÇÕES DE GALILEU
  2. PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
  3. EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
  4. EQUAÇÃO DE TORRICELLI
  5. PROPRIEDADES DAS ÁREAS
  6. CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
  7. ACELERAÇÃO VETORIAL MÉDIA

PROPORÇÕES DE GALILEU

Geralmente costuma-se mencionar as proporções de Galileu quando se estuda um corpo em queda livre. Entretanto quando Galileu realizou seu experimentos ele o fez usando um plano inclinado bastante liso. Neste caso, o movimento do corpo, que pelo plano deslisa (mesmo se for uma esfera: não deve rolar), será um movimento uniformemente variado e é este movimento que vamos estudar.

Para começar, imagine um dos planos inclinados de Galileu muito bem polido. Objetos esféricos são soltos em seu topo e se houver atrito, por menor que seja, fará a bola rolar. Se isso ocorrer, então deverá polir o plano inclinado até que nenhum movimento de rotação possa ser percebido na esfera, assim podemos pensar que temos um plano inclinado sem atrito.

Vamos associar um eixo orientado ao longo no plano inclinado com sentido positivo para baixo, conforme a figura a seguir.

Em sua época não existiam máquinas fotográficas super rápidas e nem mesmo relógios que usam cristais de quartzo (relógioa comuna hoje em dia; naquela época mal se sabia algo a respeito da energia elétrica) e os únicos relógios disponíveis eram clepsidras (relógios de água), velas cujo tempo de queima era conhecido com alguma precisão e ampulhetas (relógios de areia). Na verdade, dá-se ao Galileu o crédito de ter inventando o primeiro relógio de pêndulo.

Devido à essa dificuldade experimental, Galileu teve que trabalhar com planos levemente inclinados, assim poderia saber quanto o corpo percorria em determinado intervalo de tempo.

Para simplificar, digamos que Galileu crie uma representação da posição da esfera conforme o esquema abaixo:

Nesta figura, a posição da esfera está disposta na vertical e conforme a esfera se desloca no plano inclinado, no esquema a esfera se desloca para baixo. É importantíssimo ressaltar que estamos considerando que o corpo parte do repouso (ou seja, estava inicialmente parado).

Supondo que estamos na época de Galileu e as posições de cada esfera foi marcada na reta vertical da figura acima. A cada intervalo de tempo constante $\Delta t$ foi feito um risco horizontal e fez-se anotações experimentais do valor que a esfera percorria em cada intervalo de tempo: $ y_1, y_2, y_3, ... y_n$. Estas distâncias estão representadas na figura.

Galileu descobriu que esta sequência, $ y_1, y_2, y_3, ... y_n$, é na verdade uma sequência de números inteiros cuja diferença entre dois números consecutivos é o dobro do primeiro intervalo, isto é, se $y_1=d$, então $y_2=3d$, $y_3=5d$, $y_4=7d$, etc. Esta sequência é uma Progressão Aritmética (P.A.) cuja ração (diferença entre dois números consecutivosda sequência) é igual à $2d$.

Esta é uma grande descoberta, pois a soma dos termos de uma progressão aritmética é uma função do segundo grau, como vamos verificar.

Seja $x_1$ a posição do corpo em estudo após um tempo igual à $\Delta t$, $x_2$ a posição no instante $ 2 \Delta t$, $x_3$ a posição no instante $ 3 \Delta t$, $...$ , $x_n$ a posição no instante $n \Delta t$. Com isso podemos verificar que: $$x_1=y_1=d$$ $$x_2=y_1+y_2=x_1+y_2=d+3d=4d$$ $$x_3=y_1+y_2+y+3=x_2+y_3=9d$$ $$x_4=x_3+y_4=16d$$ $$x_5=25d$$ $$...$$ $$x_n=n^2 d$$

Como $n$ é proporcional ao tempo $t=n \Delta t$, então:

$$x_n = c \cdot t^2 d$$

Podemos descobrir a constante de proporcionalidade $c$ da equação acima. Para isso peguemos $$x_1=d=c \cdot t^2$$ Isolando $c$: $$c=\frac{d}{\Delta t ^2}$$

Por hora, vamos considerar que temos a seguinte relação:

$$x_n=x(t)=c \cdot t^2$$

Vamos agora descobrir a velocidade da partícula em função do tempo. Note que quando escrevemos $x_n=x(t)$, entendemos que a posição $x$ do corpo é uma função do tempo e portanto não é preciso que $n$ seja um número inteiro, pois $t$ pode assumir qualquer valor.

Primeiro, lembremos que a velocidade média de um corpo é dada por: $$v_M=\frac{\Delta S}{\Delta t}$$ Assim podemos escrever que a velocidade média do móvel de interesse entre dois instantes $t$ e $t+\Delta t$: $$v_M=\frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t}$$ Sendo $x(t+\Delta t)$ a posição do móvel no instante $t+\Delta t$ e $x(t)$ a posição no inatane $t$. Porém, queremos a velocidade em um determinado instante e não a velocidade média, então imaginemos que vamos escolher dois instantes $t$ e $t+\delta t$ ($delta$ ou delta minúsculo é uma letra grega que vamos usar para representar uma variação pequena) tal que $\delta t$ seja muito pequeno, tão pequeno que podemos tomar que no limite ele tende a zero ($\delta t \rightarrow 0$). Em linguagem matemática, escrevemos: $$v_{instantânea}=v=\lim_{ \delta t \to 0} \frac{x(t+\delta t) - x(t)}{\delta t}$$ Substituíndo a equação anterior, $x(t)=c \cdot t^2$ e $x(t+\delta t)=c \cdot (t+\delta t)^2$, temos: $$v=\lim_{ \delta t \to 0} \frac{x(t+\delta t) - x(t)}{\delta t} \Rightarrow$$ $$v=\lim_{ \delta t \to 0} \frac{c \cdot (t+\delta t)^2- c \cdot t^2 }{\delta t} \Rightarrow $$ $$v=\lim_{ \delta t \to 0} \frac{c \cdot (t^2+2t\delta t+\delta t^2)- c \cdot t^2 }{\delta t} \Rightarrow$$ $$v=\lim_{ \delta t \to 0} \frac{c \cdot (2t\delta t+\delta t^2)}{\delta t} \Rightarrow $$ $$v=\lim_{ \delta t \to 0} c \left (\frac{\delta t^2}{\delta t}+ \frac{2t\delta t}{\delta t} \right ) \Rightarrow$$ $$v=\lim_{ \delta t \to 0} c \left ( \delta t + 2t \right ) \Rightarrow$$

$$v=2ct$$

Observe que $\delta t + 2t \approx 2t$, pois $\delta t \to 0$. Note também que podemos fazer $\frac{\delta t^2}{\delta t}\approx \delta t$ e $\frac{2t\delta t}{\delta t} \approx 2t$ para $\delta t \to 0$, pois não estamos dividindo por zero, mas por um número que se aproxima de zero. De fato, no limite com $\delta t \to 0$, podemos dizer que $\delta t + 2t = 2t$ e que $\frac{\delta t^2}{\delta t} = \delta t$. Mais precisamente, $v=\lim_{ \delta t \to 0} c \left (\frac{\delta t^2}{\delta t}+ \frac{2t\delta t}{\delta t} \right )=\lim_{ \delta t \to 0} c \left ( \delta t + 2t \right )=2ct$.

Como foi visto anteriormente, vimos que a velocidade é a variação do espaço pela variação do tempo. Se a velocidade varia com o tempo, então podemos calcular a taxa com que a velocidade varia com o tempo. À essa taxa, damos o nome de aceleração! Como ela pode variar com o tempo, é conveniente calcularmos a aceleração instantânea, como fizemos para a velocidade: $$a=\lim_{\delta t \to 0} \frac{v(t+ \delta t)-v(t)}{\delta t} \Rightarrow$$ $$a=\lim_{\delta t \to 0} \frac{2c\delta t}{\delta t} \Rightarrow$$

$$a=2c$$

O que pode-se concluir com este resultado?

Primeiro, que a velocidade varia uniformemente com o tempo, pois a $\frac{\delta v}{\delta t}=2c=cte$, assim podemos afirmar que a velocidade é uma função do primeiro grau do tempo. Compare com a equação da reta: $$y=mx+h$$ Lembre-se de que $m$ é o coeficiente angular de uma reta e que $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Se substituirmos $y$ pela velocidade $v$ e $x$ pelo instante $t$, temos: $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ Observe que usamos delta maiúscula ($\Delta$) pois não precisamos considerar um tempo muito pequeno. Com isso, podeos escrever: $$a=\frac{v-v_0}{t-t_0}$$ Aqui chamemos de $v_0$ a velocidade no instante $t_0$ e $t_0$ vamos considerar como sendo o início dos tempos e, por hora, tomemos $t_0 =0$, assim: $$a=\frac{v-v_0}{t} \Rightarrow$$ $$at=v-v_0 \Rightarrow$$

$$v=at+v_0$$

Talvez você costume ver esta equação ao contrário: $v=v_0+at$. Mas estou preocupado com o conceito, então a escreverei ao contrário do que comumente se apresenta em livros didáticos apenas para comparar com a forma tradicional da equação do primeiro grau. Veja a comparação a seguir: $$\left\{\begin{matrix} y=mx+h\\ v=at+v_0 \end{matrix}\right.$$ Observe que $h$ e $v_0$ possuem o mesmo papel matemático: é o coeficiente linear da reta. Isto é, pensando na equação da reta, é o valor no eixo $y$ que a reta o cruza, ou de forma equivalente, é o valor de $y$ para $x=0$. Analogamente, $v_0$ é a velocidade do corpo quando $t=0$, isto é, quando estamos na origem dos tempos (acabamos de ligar nosso cronômetro para fazer as medições) e sta é a razão de escolhermos $t_0=0$. Compare os gráficos a seguir:

Por esta razão dizemos que $v_0$ é a velocidade inicial do móvel ou a velocidade com que se inicia o movimento (esta última afirmação é pouco precisa, pois o movimento poderia já existir quando se começa a medir, por esta razão é melhor pensar em velocidade no início das medidas).

Agora vamos adiantar uma propriedade gráfica: a propriedade das áreas dos gráficos.

Por hora, saiba que a área sob o gráfico de $v$ vs $t$ é numericamente igual ao $\Delta S$ corpo em estudo. Mais adiante faremos uma generalização dessa propriedade e veremos o seu significado generalizado.

Se atendo então a este fato, vamos determinar a área do gráfico acima. Na figura abaixo a área a ser claculada está destacada: observe que é um trapézio.

Lembrando que a área de um trapézio é o produto de meia altura pela soma das bases (base menor + base maior ou $B + b$), então: $$\Delta S=\frac{h}{2}\cdot(B+b) \Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{t}{2}\cdot(v+v_0)$$ Note que o trapézio está deitado e que a base maior é uma função do tempo, isto é, $v=at+v_0$: $$\Delta S=\frac{t}{2}\cdot(at+v_0+v_0)\Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{t}{2}\cdot(at+2v_0)\Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{1}{2}\cdot(at^2+2v_0t)\Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{at^2}{2} + \frac{2v_0t}{2}\Rightarrow$$ $$\Delta S=\frac{at^2}{2} + v_0t$$ Como $Delta$ representa variação, então $\Delta S = S-S_0$ e: $$\Delta S=\frac{at^2}{2} + v_0t \Rightarrow$$ $$S - S_0=\frac{at^2}{2} + v_0t \Rightarrow$$

$$S=\frac{at^2}{2} + v_0t + S_0$$

Esta é a equação horária da posição de um corpo em movimento ao longo do plano inclinado de Galileu. Talvez a equação que você esteja mais familiarizado seja escrita de maneira um pouco diferente: $$S=S_0+ v_0t + \frac{at^2}{2} $$ porém mais uma vez tenho como objetivo comparar com um equação que deve ser sua conhecida na matemática: a parábola.

Escrevendo uma equação sob a outra: $$\left\{\begin{matrix} y=\rm{a}x^2+bx+c\\ S=\frac{at^2}{2} + v_0t + S_0 \end{matrix}\right.$$ Aqui cuidado para não confundir o coeficiente da parábola $\rm{a}$ com a aceleração $a$ do corpo em estudo.

Mais, nesta página, irei discutir com mais detalhes as propriedades das parábolas e da equação que acabo de deduzir. Mas por hora vamos nos ater às seguintes propriedades da parábola: se $\rm{a}>0$, a parábola possui concavidade para cima e se for $<0$ terá concavidade para baixo; $c$ representa a inclinação da parábola quando $x=0$, assim se $b>0$ a parábola é inicialmente crescente e se $b<0$ ela é inicialmente decrescente; por fim, $c$ é o valor de $y$ quando $x=0$.

De maneira análoga, se $\frac{a}{2}>0$ a equação que descreve o movimento do corpo ao longo do plano de Galileu será uma parábola com concavidade para cima e se $\frac{a}{2}<0$, terá concavidade para baixo; $v_0$ representa a inclinação da curva (parábola) no início dos tempos (quando se inicia as medidas) e se $v_0>0$ o corpo está se dirigindo no sentido positivo do nosso referencial (parábola com inclinação positiva para $x=0$) e se $v_0<0$ o corpo está inicialmente dirigindo para o sentido negativo da trajetória (parábola com inclinação inicial negativa); por fim, $S_0$ é a posição inicial do móvel (posição quando $t=0$, ou seja, posição no início dos tempos).

Veja a figura abaixo onde está representada uma parábola com $\rm{a}>0$, $b<0$ e $c>0$. Verifique se entendeu porque.

Observe que a concavidade da parábola é para cima ($\rm{a}>0$), para $x=0$ a parábola decresce ao ir para a esuqerda ($b<0$) e ela cruza o eixo vertical em um pondo onde $y$ é positivo ($c>0$).

Usando a mesma ideia, veja abaixo um gráfico de $S$ vs $t$ para $\frac{a}{2}>0$ (ou equivalentemente $a>0$), $v_0<0$) e $S_0>0$.

Note que valem as mesmas observações para a parábola (pois ambas são a mesma coisa: estamos vendo uma aplicação da equação da parábola).

Bom, mas vamos analisar o que foi obtido até aqui e voltar à nossa motivação inicial: as proporções de Galileu.

Lembre-se que iniciamos a discussão assumindo que a velocidade inicial do corpo decendo sobre o plano inclinado era nula e adotamos como origem das posições o ponto de início do movimento. Com isso obtemos a equação $$x(t)=ct^2=\frac{at^2}{2}$$ obtemos então, para um $\delta t \to 0$ que $$v=2ct=at$$ obtemos também que a aceleração $a=2c$ (não confunda este $c$ da donstante que foi encontrada nas proporções de Galileu com o $c$ da equação da parábola). Analisando a equação da reta obtemos a velocidade em função do tempo ($v=at+v_0$) incluindo aqui uma possível velocidade inicial diferente de zero. Então fizemos a operação inversa: calculando a área do gráfico de $v$ vs $t$ para obter a posição.

Assim, a posição $x(t)$ passa a ser a posição $S(t)=S=\frac{at^2}{2} + v_0t + S_0$. Agora temos a posição de um móvel qualquer decendo o plano inclinado de Galileu a partir de uma posição inicial $S_0$ qualquer, porém conhecida, e uma velocidade inicial qualquer $v_0$ também conhecida.

Vamos então retornar às proporções de Galileu. Tentemos vê-la no gráfico de $v$ vs $t$.

Para isso, considerando a velocidade inicial nula (lembre-se que foi daí que tudo começou), fazemos o gráfico da velocidade pelo tempo:

Marquemos neste gráfico um instante $t=\Delta t$. A área abaixo desse gráfico será igual à $y_1$, conforme as duas figuras a seguir:

Por uma construção geométrica, podemos preencher a área abaixo do gráfico com os triângulos pequenos (com base $\Delta t$ e área $y_1$).

Como todos os triângulos possuem a mesma área, indicamos isso:

Note que no primeiro intervalo: $$x_1=y_1$$ Veja a figura acima onde indicamos isso (o nosso sistema de coordenadas ao longo do plano inclinado). Assim, a área abaixo da curva de $v$ para o segundo $\Delta t$ é $$x_2=3y_1$$ e a distância total no quarto intervalo será: $$x_3=5y_1$$

Assim recuperamos as proporções de Galileu. Veja o gif animado abaixo para a construção dessa proporção.

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$$v_2=2,4\text{ m/s}$$
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